1.3 传感器的数学模型

传感器作为感受被测量信息的器件，总是希望它能按照一定的规律输出有用信号，因此，需要研究其输入-输出之间的关系及特性，以便用理论指导其设计、制造、校准与使用。要在理论和技术上表征输入-输出之间的关系，通常的方法是建立数学模型，这也是研究科学问题的基本出发点。

传感器可能用来监测静态量、准静态量或动态量，由于输入信号的状态不同，传感器表现出来的输出特性也不相同。为了便于分析，下面从静态输入-输出关系和动态输入-输出关系两个方面建立数学模型。

1.3.1 传感器的静态数学模型

传感器的静态数学模型是指被测量的值处于稳定状态时的输出与输入的关系。如果被测量是一个不随时间变化，或随时间变化缓慢的量，可以只考虑其静态特性，这时传感器的输入量与输出量之间在数值上一般具有一定的对应关系，关系式中不含有时间变量。对静态特性而言，传感器的输入量x与输出量y之间的关系通常可用一个如下的多项式表示：

式（1-1）中，x为输入量；y为输出量；a0为零输入时的输出，也叫零位输出；a1为传感器线性项系数（也称线性灵敏度），常用K表示；a2, a3, …an为非线性项系数，其数值由具体传感器非线性特性决定。

传感器静态数学模型有以下3种有用的特殊形式。

1．理想的线性特性

其线性度好，通常是所希望的传感器应具有的特性，只有具备这样的特性才能正确无误地反映被测的真值。

2．仅有偶次非线性项

其线性范围较窄，线性度较差，灵敏度为该曲线的斜率，一般传感器设计很少采用这种特性。

3．仅有奇次非线性项

其线性范围较宽，且相对坐标原点是对称的，线性度较好，灵敏度为该曲线的斜率。使用时一般都加以线性补偿措施，可获得较理想的线性特性。

1.3.2 传感器的动态数学模型

传感器的动态数学模型是指输入量随时间变化时传感器的响应特性。很多传感器要在动态条件下检测，被测量可能以各种形式随时间变化。只要输入量是时间的函数，则其输出量也将是时间的函数，其间的关系要用动态特性来说明。动态数学模型一般采用微分方程和传递函数描述。

1．微分方程

忽略了一些影响不大的非线性和随机变量等复杂因素后，可将传感器作为线性定常数系统来考虑，因而其动态数学模型可以用线性常系数微分方程来表示，其解得到传感器的暂态响应和稳态响应。

式（1-5）中，x（t）为输入量，y（t）为输出量，an, an-1, …a1, a0; bm, bm-1, …b1, b0分别为与传感器结构有关的常数。

对于复杂的系统，其微分方程的建立和求解都是很困难的。有时也可以采用传递函数的方法研究传感器的动态特性。

2．传递函数

对式（1-5）两边取拉氏变换，则得：

H（S）即为该系统的传递函数。等号右边是一个与输入无关的表达式，只与系统结构参数有关，可见传递函数H（s）是描述传感器本身传递信息的特性，即传输和变换特性。传递函数可由输入激励和输出响应的拉普拉斯变换求得。当传感器比较复杂或传感器的基本参数未知时，可以通过实验求得传递函数。