2．6　弹性板中朗姆（Lame）波的频散特性

在上节中，探讨了在半无限弹性体，也就是只有一个自由表面的弹性体中瑞利波的特性。另外，在很多情况下，检测对象的厚度小于激振弹性波的波长。也就是说，弹性体具有两个平行的自由面，此时，会产生与上述R波所不同的朗姆（Lame波，简称为L波）波。由于其产生在板形结构中，因此也被称为“板波”。

板波与R波不同，其相位速度与波的频率有直接关系。

2．6．1　弹性板中朗姆波的特征方程

在求解瑞利波相位速度时，同样需要式（2－121）等边界条件，亦即当弹性波向远处传播时，其振幅应逐渐收敛。

然而，在z＝0以外，z＝H处形成另一个自由表面时，若不考虑这样的收敛性，则存在A、B、A′和B′四个变量。在此，为了便于数学上的求解，将边界条件改写为：

将式（2－99）～式（2－103）、式（2－105）及式（2－125）代入式（2－127），经过因式分解后可得到朗姆波的特征方程。其中，朗姆波的相位速度用c表示：

其中：

式（2－128）和式（2－129）的左边尽管相同，但右边的分子和分母互相有个调换。与R波不同，L波的相位速度c是频率ω的函数，不仅具有频散性，而且有无数的分支。

此外，由式（2－128）、式（2－129）可知L波具有2个特征方程，也就是说，L波具有2个基本模态。

2．6．2　弹性板中L波的相位速度

在此，探讨在弹性板中L波的相位速度。

（1）ζ→∞（即波长→0）且c＜vS的场合。由于c＜vS，式（2－128）和式（2－129）中的各项均为实数。因此，当ζ→∞时，tanh→1，式（2－128）和式（2－129）均变为：

式（2－130）与式（2－124）相同，也就是说与R波的相位速度相同。由于c＜vS，而且波长很短，弹性板引起的变形随着与板表面的距离的增加，按exp的指数函数减少。而且，当ζ→∞时，波长也趋于0，板的互相不影响，L波为沿板的两面传播的R波。

（2）ζ→∞（即波长→0）且c＞vS的场合。此时，为虚数，因此，式（2－128）、式（2－129）的右边变为：

当ζ→∞时，无论c为何值，（）内均可取为nπ/2，（n＝1，2，…），从而式（2－128）、式（2－129）的右边为0，且c＝vS＋0，即c→vS。

（3）ζ→0（即波长→∞）且vS＜c＜vP的场合。式（2－128）和式（2－129）的右边在ζ→0时，变为：

此时，式（2－128）、式（2－129）就变为：

当c＞vS时，式（2－132）无解，而式（2－133）的解如下：

该相位速度，即为后文中所述的在弹性板中传播的P波波速。

通过对位移的求解，还可以发现，在表层中弹性板粒子的上下方向的振幅W要远小于水平方向的振幅U，在这种模态下，主变形成分u为z的偶函数，而w为关于中心轴的奇函数，见图2－31（a），其模态也称为“伸缩型”。

（4）ζ→0（即波长→∞）且c→0的场合

在这种条件下，与（3）有相似也有所不同，式（2－133）无解而式（2－132）的解如下：

与（3）不同，在表层中弹性板粒子的上下方向的振幅W要远大于水平方向的振幅U，其大体形状见图2－31（b），其模态也称为“屈曲型”。