1.8 独立性

若事件的发生是无关的，则称它们独立（independent），或者说，给定某个事件的信息并不影响另一个事件发生的条件概率.以抛两次硬币为例，如果两次的机制不相关，通常认为某次投掷不会影响另一次结果的发生.同样，掷两次骰子，如果两次的机制不相关，通常没有理由认为某次投掷会受到另一次结果的影响.第三个例子考虑伦敦的犯罪率和上海的茶叶价格.没有理由认为两个事件中的一个会影响另一个.在上述每个例子中，称事件是独立的.

上述讨论表明两个无关（独立）的事件A和B满足性质P[A|B]=P[A]和P[B|A]=P[B]，即一枚硬币正面朝上（H）的概率不受另一枚硬币抛掷结果（正面H或反面T）的影响.从条件概率定义可知，P[A∩B]=P[A]P[B].其正式定义如下：

定义1.4 若P[A∩B]=P[A]P[B]，则称事件A和B统计独立（statisticallyindependent）.

更简洁地称为独立（independent）.根据定义推导出一个直接的结果，得到以下等价关系.

定理1.4 若事件A和B是独立的，且P[A]＞0，P[B]＞0，则

P[A|B]=P[A]

P[B|A]=P[B]

考虑1.6节股票指数的例子.我们发现P[Ut|Ut-1]=0.57和P[Ut|Dt-1]=0.57，这表示某周股票价格上涨的概率不受上一周的影响，即满足独立性的定义.因此，事件Ut和Ut-1是独立的.

如果事件是独立的，那么联合概率可通过单个概率相乘来计算.以独立地抛两枚硬币试验为例.第一枚硬币可能的结果为{H1, T1}，第二枚硬币可能的结果为{H2, T2}.令p=P[H1]且q=P[H2]，得到联合概率表1-3.

其中p和q分别表示两枚硬币朝上的概率，它们决定了表中的四个联合概率.每一列的概率相加是p和1-p，每一行的概率相加是q和1-q.

若两个事件是不独立的，则称为相依的（dependent）.在这种情况下，联合事件A∩B发生的概率与事件独立时的预期不同.

以工资和受教育程度为例.我们已经分析过某人具有大学学位会影响其获得高工资的条件概率，这表明两个事件是相依的.现在考虑在（错误的）独立假设下，由单个概率相乘计算联合概率会发生什么.结果展示在表1-4中.

中心实线框内的概率是通过单个概率相乘得到（例如P[H∩C]=0.31×0.36=0.11）.可以看出，与正确的联合概率相比，对角线事件的概率远小于正确的，非对角线事件的概率远大于正确的.在此例中，联合事件H∩C和L∩N发生的频率远大于工资和受教育程度独立时预期的结果.

可利用独立性来计算概率.以抛两枚硬币试验为例.如果连续抛两枚公平硬币是独立的，那么两次均正面朝上的概率是

这回答了1.5节中提出的问题.事件H H的概率是1/4而不是1/3.关键在于独立性假设，而不是结果是如何排列的.

再以掷一对公平骰子的试验为例.如果掷两个骰子是独立的，则出现两个“1”的概率是P[1]×P[1]=1/36.

有人可能天真地认为独立性可推出事件互不相交，但是事实是反过来才是正确的.如果事件A和B是互不相交的，则它们不可能独立，即对不相交事件A∩B=∅，根据定理1.2的性质2，

P[A∩B]=P[∅]=0≠P[A]P[B]

根据独立性的定义，等式右边不为0.

独立性是许多概率计算问题的核心.如果能把一个事件分成几个独立事件，则该事件的概率等于单个事件概率的乘积.

以抛两枚硬币的试验为例，考虑事件{HH, HT}.该事件等价于{第一个硬币正面H朝上，第二个硬币正面H或反面T朝上}.如果抛两枚硬币相互独立，则其概率为

再举一个更复杂的例子，掷一对骰子，两面相加等于7的概率是多少？可进行如下计算.用（x, y）表示掷两次（考虑顺序的）骰子的结果.下面的结果其和为7：{（1, 6）,（2, 5）,（3, 4）,（4, 3）,（5, 2）,（6, 1）}.其结果是不相交的.利用概率公理的第三条，其和为7的概率为

P[7]=P[1, 6]+P[2, 5]+P[3, 4]+P[4, 3]+P[5, 2]+P[6, 1]

假设两个骰子相互独立，则联合概率可通过单个概率相乘计算.对于公平骰子，上式等于

现假设骰子是不公平的，但仍是独立的.每个骰子都是有偏的，其中“1”面朝上的概率为2/6，“6”面朝上的概率是0.此时修正概率的计算，