2.6 离散随机变量的有限期望

期望有定义的条件有“序列是收敛的”.包含这句话是因为有些序列是不收敛的，此时，期望是无限的或无法定义的.

例如，设X的支撑点为2k，k=1,2,···，且其概率质量函数为πk=2-k.因为

所以该概率函数是有效的.其期望为

这个例子可对应赌局中的圣彼得堡悖论（St. Petersburg paradox）.抛一枚公平硬币K次直到正面朝上为止.设定玩家收益X=2K，即如果K=1，则玩家赢得2美元；如果K=2，则玩家赢得4美元；如果K=3，则玩家赢得8美元；以此类推.如上所示，收益的期望为无穷.这个游戏是个“悖论”，因为即便期望是无穷的，也很少有人愿意支付高价获得随机收益.[2]

图2-3展示了该收益的概率质量函数.观察图中的概率是如何在右尾处缓慢衰减的.期望等价于重心，如果想象一个无限长的木板，以图2-3的概率质量函数为砝码，则不存在一个放置支点的位置，使木板平衡.无论支点放在哪里，木板都会向右倾斜.概率质量虽小但取值越来越大的点会占主导地位.

上述是一个期望无穷大的非收敛的例子.某些非收敛的例子中，都无法定义期望.假设修改圣彼得堡赌局的收益，使其支撑点为2k和-2k，每个点的概率为πk=2-k-1.则期望为

该序列既不收敛，也不是+∞或-∞.（猜测两个无穷大的数相减可以抵消是诱人的，但并不正确.）在这种情况下，称期望没有定义或不存在.

期望的无穷性可能会导致经济交易发生困难.假设X是由于意外灾难导致的损失，如火灾、龙卷风或地震.因此，X=0的概率很高，X为正且很大的概率很低.此时，风险规避（risk-adverse）型经济主体会购买保险.理想的保险合同应对随机损失X充分补偿.在对称或没有摩擦的市场中，保险公司提供保费为预期损失E[X]的合同.然而，当损失是无穷时，就无法制定相应的合同.