2.3 离散随机变量

我们把随机变量X定义为一个实值结果.在大多数情况下，X只在实数轴的某个子集中取值.以抛硬币实验为例，正面朝上记为1，反面朝上记为0，结果只取0和1.这是离散分布的例子.

定义2.2 如果集合X中的元素是有限的或可数的，则称其为离散的（discrete）.

在实际应用中很多离散集都是非负整数.例如，在抛硬币实验中，X={0, 1}.在掷骰子实验中，X={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

定义2.3 如果存在一个离散集合X满足P[X∈X]=1，则称X是离散随机变量（discrete random variable）.满足这一性质的最小集合X称为X的支撑（support）.

支撑是集合中取正概率的值.当描述支撑时，有时可用X={τ1,τ2,···,τn}，X={τ1,τ2,···}或X={τ0,τ1,τ2,···}表示，称τj为支撑点（support point）.

定义2.4 随机变量X等于x的概率，记为π（x）=P[X=x]，称为随机变量的概率质量函数（probability mass function）.考虑支撑点τj时，πj=π（τj）.

以抛硬币实验为例，设其正面朝上的概率为p，支撑X={0, 1}={τ0,τ1}，概率质量函数的取值为π0=1-p和π1=p.

以掷骰子实验为例.支撑X={1,2,3,4,5,6}={τj：j=1,2,···,6}，概率质量函数为πj=1/6，j=1,2,···,6.

一个可数随机变量的例子如下：

这是一个合理的概率函数，因为.支撑为X={0,1,2,···}，概率质量函数为πj=e-1/（j！），j≥0.（这是3.6节定义的泊松分布的特例.）

通常利用条形图表示概率质量函数.条形图可直观地表示事件发生的相对频率.图2-2a展示了式（2.1）中的概率质量函数.每个条形的高度表示支撑点处的概率πj.虽然分布是可数的，但可以忽略k≥6时的概率，故只绘制了k≤5的概率质量函数.可以看到，k=0和k=1的概率大约为0.37，k=2的概率大约为0.18，k=3的概率大约为0.06，k=4的概率大约为0.015.

再比如真实世界的例子，图2-2b展示了2009年美国工薪阶层的受教育年限[1].可以看出，受12年教育的概率（大约27%）最高，第二高的是受16年教育的概率（大约23%）.